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エクセル近似曲線の罠

エクセル近似曲線の「指数近似」「累乗近似」は、いわゆる非線形最小二乗法ではない。
 ・エクセルで用いているのは A-TECH/SCHNEIDER StaG アルミホイール 1本 インスパイア CP3 【17×7.0J 5-114.3 INSET53 メタリックグレー】、

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、データの対数に直線をあてはめるという方法。
 ・いわゆる非線形最小二乗法とは、残差(誤差)の2乗和を最小にする方法。

詳しいことは以下のページで尽きているのだが、エクセルの近似曲線は便利だと、
私自身多くの人に勧めている手前、注意を忘れないよう記載しておく。

* Excelグラフ累乗,指数, ★色番号塗装発送【★送料無料】 LEXUS LFA エアロ 3点キットC / ( FRハーフタイプ )【アーティシャンスピリッツ】LEXUS LFA LFA10 3P KIT CARBON製多項式近似の論文記載の注意(生物科学研究所 井口研究室)
>> https://biolab.sakura.ne.jp/excel-graph.html

* 指数近似

赤い点で描かれているのが元になるデータ、
 Y = 0.8 * exp( 0.3 * X ) に、Xに比例する大きさで正規乱数を加えたもの。
下側の青い線がエクセルの指数近似曲線。
上側の緑の線はR言語による非線形回帰。

* 累乗近似

赤い点で描かれているのが元になるデータ、
 Y = 0.3 * X ^ 1.5 に正規乱数を加えたもの。
直線に近い青い線がエクセルの累乗近似曲線。
よりカーブのきつい、緑の線はR言語による非線形回帰。

ぱっと見に、あてはまりが良さそうなのはR言語の方に思える。
だからといってエクセルが“間違っている”というわけでもない。
エクセルはR言語と異なる方法で線を引いているのである。
R言語がもともとの回帰式の上で誤差を最小化するのに対し、
エクセルは両辺対数をとった式の上で誤差を最小化する。

* 指数近似
  Y = a * X ^ b   -- もともとの回帰式
  ln(Y) = ln(a) + b ln(X)   -- 両辺対数をとった式
* 累乗近似
  Y = a * exp(b * X)   -- もともとの回帰式
  ln(Y) = ln(a) + b * X   -- 両辺対数をとった式

もともとの回帰式は曲線だが、両辺対数をとった式は直線となる。
誤差の最小化は、直線の方がずっと簡単だ。
直線に直した上での回帰は以下のようになる。

* 指数近似


* 累乗近似


この直線で求めたパラメータが、エクセル近似曲線のものに一致していることが見て取れる。
 ※ exp(0.2526)=1.2874, exp(-0.1613)=0.851
エクセル近似曲線は APP(エーピーピー) ラジエターホースシステム(ロア) シルビア E-S14 turbo(M/C前) 用(クランプ色:レッド)、直線回帰にちょっとオマケを付け足して実現した機能だったのだ。
エクセルの指数近似、累乗近似では、ゼロやマイナスを含むデータに線を引くことができない。
なぜできないかというと、ゼロやマイナスの対数がとれないからである。
また、エクセルには指数回帰を行う"LOGEST"という関数があるが、この関数で求めた数字も、近似曲線で求めた数字と同じである。
(もう1つの、直線回帰のための"LINEST"関数は特に問題無い。)



さらに、エクセルでは近似曲線に対して決定係数R2を計算することができるのだが、
決定係数R2は本来、線形回帰についてのあてはまり指標であり、非線形回帰に用いることはできない。
では DUNLOP ダンロップ 並行輸入品 ディレッツァ DIREZZA DZ101 サマータイヤ 225/45R18 WEDS ウェッズ Kranze クレンツェ Weaval 100EVO ホイールセット 4本 18インチ 18 X 7.5 +48 5穴 100 TOYOTIRES トーヨー プロクセス C1S PROXES サマータイヤ 225/40R19 ブリヂストン Adrenalin アドレナリン SW005 ホイールセット 4本 19インチ 19 X 8 +45 5穴 114.3、エクセルに出てくる決定係数は何なのかというと、対数をとって直線に直したときの決定係数だったのだ。
なので、この数字をうのみにして、そのまま用いるべきではない。
非線形回帰であてはまりの良さを評価するには、決定係数ではなく、
残差の2乗和、あるいは(回帰分析の)標準誤差を用いるのが妥当だ。

以上の懸念は、指数近似、累乗近似の話であって、他の種類の曲線「対数近似」「多項式近似」では心配しなくてよい。
実際試してみると、対数近似 、多項式近似の結果はR言語と一致する。
なぜそうなるかというと、

 ・対数近似,多項式近似 は 線形回帰
 ・指数近似,累乗近似 は 非線形回帰

だからである。
形の上で、線形=直線、 【送料無料】 215/45R17 17インチ TECHNOPIA テクノピア アフロディーテ IS 7J 7.00-17 KINGSTAR キングスター SK10 サマータイヤ ホイール4本セット非線形=曲線、と思い込んでいる人もいるかもしれないが、
回帰分析の場合、回帰式が推定パラメータについて1次のものが線形、そうでないものが非線形である。
 ・対数近似の回帰式: y = a ln(X) + b
 ・多項式近似の回帰式: y = a X^2 + b X + c
いずれの回帰式も(Xではなく)a, b, c については1次式となっている。

で、指数近似,累乗近似がやりたかったとき、結局のところどうすれば良いのか。
・エクセルを使ったときは、エクセルの結果だと明記しておく。
・できればR言語 ハリケーン ウルトラナロー ハンドルセット 01年以降 SR400 クローム H304-086C HD店、あるいは信頼できる統計用ソフトを使った方が良い。
・実はエクセルの「ソルバー」機能を使えば、非線形回帰も不可能ではない。
 でも、そこまでするなら素直にR言語使えば良いのではないかな。

* Excelのチャートオプション"近似曲線の追加"機能の評価
>> https://ci.nii.ac.jp/naid/110007025777

以下はR言語上での操作です。

### 累乗近似、非線形回帰
# データを用意
x <- c(1:12)
y <- c(
1.075513124,
2.104125184,
2.045615008,
3.70051273,
2.221801362,
2.769819828,
6.656385201,
7.037107115,
7.976938733,
8.150842204,
11.70331758,
13.66264136 )
nonline <- nls( y ~ a * x^b, ,start=c(a=1,b=1)) # 非線形回帰
summary(nonline) # 結果の要約
Formula: y ~ a * x^b
Parameters:
 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
a 0.2680 0.1204 2.226 0.0502 . 
b 1.5587 0.1959 7.957 1.23e-05 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 1.132 on 10 degrees of freedom
Number of iterations to convergence: 8 
Achieved convergence tolerance: 2.96e-06
# プロットしてみる
a <- coef(nonline)[1]
b <- coef(nonline)[2]
plot( y ~ x)
curve( a*x^b, add=T, col="red")
### 指数近似、非線形回帰
# データを用意
x <- c(1:12)
y <- c(
3.283583359,
2.754235941,
1.674398192,
3.556187361,
0.976339451,
4.652897765,
15.21122786,
12.09124224,
8.109277666,
13.59872153,
23.046961,
24.17609857 )
nonline <- nls( y ~ a * exp(b*x), ,start=c(a=1,b=1)) # 非線形回帰
summary(nonline) # 結果の要約
Formula: y ~ a * exp(b * x)
Parameters:
 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
a 1.53717 0.67319 2.283 0.045521 * 
b 0.23269 0.04152 5.605 0.000226 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 3.404 on 10 degrees of freedom
Number of iterations to convergence: 15 
Achieved convergence tolerance: 3.005e-07
# プロットしてみる
a <- coef(nonline)[1]
b <- coef(nonline)[2]
plot( y ~ x)
curve(a * exp(b*x), add=T, col="red")